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逻辑表达与复杂性的平衡分析

发布时间:2019-01-11 11:27

逻辑的主要任务是研究定义、推理或证明(或计算)。但逻辑语言和正式系统的构建通常需要在表达性和复杂性之间取得平衡。一般来说,正式系统可以表达的东西越多,理解这个正式系统的例子就越难。判断问题变得难以回答甚至变得不确定。从历史上看,它起源于类型学的一阶逻辑,放弃表达以获得模型之间的公理化和更好的转换特征。在从一阶逻辑到模态语言的过渡中也出现了同样的现象。这种转换反映在放弃更大的表现力,但在模态语言中获得决定性并找到良好的结构不变性,即交叉模拟。显然,作为逻辑系统中具有反向关系的一组概念,逻辑学家通常需要权衡表达性和复杂性。而且,就逻辑是什么而言,无论逻辑是单变量还是复数,如何评估逻辑理论的优缺点以及如何比较逻辑系统之间元逻辑的本质都与这种不同的概念形式有关。本文以一阶和二阶逻辑为例,从数学哲学和语言哲学的角度分析逻辑在表现力和复杂性方面的一般特征,以及不同逻辑学家在表现力方面的不同选择。和复杂的问题。 。

一阶逻辑和二阶逻辑

首先,应该指出的是,与大多数一阶科学不同,逻辑本质上不是一阶学科。这里的第一级学科涉及物理学、化学、生物学、地质学、地理学、经济学、心理学、社会学等信游注册,它们解释了一个特定的领域,因此它们与世界直接相关。虽然这些学科中的一些是二阶学科的方法论考虑因素,但它们本质上是一级学科。在这种情况下,逻辑、数学和哲学不是学科的层次。这并不是说这些学科与世界无关,而是与世界的二阶性质或概念有关。但由于逻辑不是一阶规则,为什么它被称为一阶逻辑?第一顺序主要与语言有关。如果语言包含一阶变量而没有其他变量,则该语言是一阶的。仅当语言包含、二阶变量且不包含其他变量时,语言才是二阶。当且仅当它是二阶语言时,语言才是高阶的。对一阶形式语言的研究称为一阶逻辑或一阶逻辑。一阶逻辑是现代逻辑中最简单的、的最实用的分支。作为一种自然或直观的逻辑。

逻辑表达与复杂性的平衡分析

自然语言论证和数学论证广泛用于一阶语言模型。一阶逻辑是研究有效性的好工具。一阶语言还捕获了自然语言语义的一些重要特征。一阶语言逻辑也是研究自然语言语义的工具。作为一个逻辑系统,它构成了现代逻辑的基础和大部分。一阶逻辑是一种经过多次研究的证明和模型理论。它有一些有趣的特性:根据Godel的完备性定理,一阶逻辑是一个完整的、可靠逻辑。演绎系统D:如果T由一阶语言中的公式组成而G是该语言中的公式,那么当且仅当T的任何模型满足G时,G才能从T的D导出。因此,一阶逻辑是紧凑的。对于由一阶公式组成的集合T,如果满足T的任何有限子集,则T也是可满足的。但是,一阶逻辑在表达方面受到限制,特别是在表达数学家研究的许多概念时。根据简化的Rayvin Helms-Collen定理,如果由一阶公式T组成的有限或可数无限集满足无限模型(其中单个区域是无限集),那么T也满足于其中的模型自然数是一个单独的区域。根据Raven Helms-Collen定理的上升,如果T是一组一阶公式,并且对于每个自然数n,则由至少n个个体的模型满足,然后对于每个无限基数k。 T还必须满足单个字段的基数为k的模型。这些结果有时被称为极限定理,因为它们表示一阶语言在表示资源时的局限性。

许多中心数学概念,例如有限性、可数性和良好的基本性,不能用任何一阶语言表示。无法完整描述自然数集、实场和欧几里德空间。二阶逻辑是一阶逻辑的扩展。一阶逻辑是命题逻辑的扩展。高阶逻辑是二阶逻辑和类型理论的真正延伸。表达性中一阶逻辑的局限性与单个变量的量化直接相关信游平台。二阶逻辑的量词不仅涉及个体,还涉及关系。

例如,二阶陈述\ / x(xPx \ / P)表示为每个人的关系(或集合)P,对于每个个体,XX在P或P中(中间的规律性)的线)。二阶逻辑还包括与量化函数有关的项。具体而言,与一阶逻辑不同,二阶或更高阶逻辑主要体现为语言扩展。扩展分为两个方向:第一个方向是非逻辑方向。集合名词K包括二阶变量、非逻辑谓词、关系和函数名称;第二个方向包含关系、谓词的函数项、和实体引入的变量。

随着语言的扩展,二阶逻辑的表达能力得到显着提升,特别是捕捉中心的数学结构和概念的能力显着增强,这很难用一阶逻辑实现。二阶逻辑的语义决定了每个句子的含义。二阶逻辑中有两种语义:标准语义和Henkin语义。在这两种类型中,一阶量词和逻辑连词的解释没有区别,但它们在二阶变量的解释上是不同的。在标准语义(也称为完整语义)中,量词仅与相应类型的所有集合和函数项相关。因此,一旦确定了一阶参数的区域,就确定其他量词的含义。正是这些语义给出了二阶逻辑的表达式。在Henkin语义中,每种类型的二阶参数都有自己的特定域,它可以是这些类的所有集合或函数项的适当子集。使用Henkin语义的二阶逻辑,Henkin定义了这些语义并证明了Godel完备性定理和一阶逻辑的紧致性定理。这是因为Henkin语义几乎与多类一阶逻辑语义相同,并添加了额外的参数类型来模拟二阶逻辑的新变体。具有Henkin语义的二阶逻辑并不比一阶逻辑更具表现力。二阶逻辑演绎系统是一组推理规则和逻辑公理,它们确定哪个公式序列构成有效证明。一些有效的公理可以用于二阶逻辑,尽管它们对于标准语义是不完整的。

这些系统的可靠性意味着他们可以证明的任何句子在适当的语义中都是有效的。可以使用的最弱的演绎系统包括标准的一阶逻辑(例如自然演绎)、演绎系统和二阶项替换规则。该演绎系统通常用于研究二阶算法。

逻辑表达与复杂性的平衡分析

面对由表现力和复杂性引起的选择困难,即使数学家也深感困惑。 Kulles通常描述这种情况:众所周知,一阶信游娱乐平台语言表达数学家研究的许多概念的能力有限,一阶逻辑(所有权)是一个发展良好的模型理论,可以很好地解释、。

另一方面,完整的二阶逻辑具有处理数学概念所需的所有表达能力。高阶逻辑的倡导者认为,为了捕获非正式数学语言的语义,逻辑系统应该记录数学结构和概念的规则和交换。 。迫切需要的是,形式语言的表达资源应该与它模拟的数学讨论相匹配。王皓也采取了类似的方法:当我们对集合论或经典分析感兴趣时,Raven Haim-Schulen被认为是一阶逻辑的缺点,而不是一阶逻辑是唯一可能的逻辑。相反,它说当我们在某种意义上没有实现不可数量的概念时,这是唯一可能的逻辑。

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